Аффинное преобразование

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании [math]\displaystyle{ (x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100) }[/math], если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Определения

Геометрическое

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

Алгебраическое

Аффинное преобразование [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} }[/math] есть преобразование вида

[math]\displaystyle{ f(x) = M \cdot x + v, }[/math]

где [math]\displaystyle{ M }[/math] — обратимая матрица и [math]\displaystyle{ v\in \mathbb{R}^{n} }[/math].

Комментарии

• Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.

• Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат [math]\displaystyle{ v }[/math];
  2. Каждой точке [math]\displaystyle{ x }[/math] пространства поставить в соответствие точку [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и [math]\displaystyle{ x }[/math] в «старой».

Примеры

Примерами аффинных преобразований являются

• движения;
• растяжения;
• преобразования подобия.

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства [math]\displaystyle{ {n}\geqslant 2 }[/math], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование [math]\displaystyle{ f(x) = M \cdot x + v }[/math] можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix} }[/math]

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n} }[/math] являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n} }[/math] можно представить как аффинные преобразования пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n+1} }[/math].

См. также

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление Архивная копия от 24 ноября 2007 на Wayback Machine
• Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения Архивная копия от 3 декабря 2021 на Wayback Machine. М.: МФТИ, 2016. 69 с.